이진수 덧셈을 해보자!

이진수 덧셈

십진수와 이진수에서 중요한 차이점 중 하나는 이진수에서 훨씬 간단한 표를 사용한다는 점이다.

 

 

여러분이 돌고래 사회에서 자랐다면 위의 표를 학교에서 배웠을 테고 아래와 같은 노래를 불렀을 것이다.

 

0 더하기 0은 0.

0 더하기 1은 1.

1 더하기 0은 1.

1 더하기 1은 0이고, 자리올림 1.

 

다음과 같이 앞의 표에서 앞자리에 0을 추가해서 2비트 값으로 표현해 볼 수 있다.

이진법에서 2는 존재하지 않는다. 2가 된다면 이는 자리올림을 하라는 신호이다.

 

숫자 10은 허상이다

 

숫자 10에 대한 글이다. 참고하면 좋다.

 

다음과 같이 앞의 표에서 앞자리에 0을 추가해서 2비트 값으로 표현해 볼 수 있다.

 

 

위에서 보이는 것처럼 한 비트의 두 이진수를 더하면 두 비트가 되며, 각각의 합(sum) 비트와 자리올림(carry) 비트라고 한다. 이제 이진수의 덧셈표를 두 개의 표로 나누어 보자.

 

첫 번째 표는 합 비트에 대한 표이다.

 

두 번째는 자리올림 비트에 대한 표이다.

 

우리가 만들려는 이진수 덧셈기도 합과 자리올림을 각각 처리하도록 만들 것이기 때문에 이진수의 덧셈을 위와 같이 나누어 생각하는 것이 편하다. 이진수 덧셈기를 만들기 위해서는 위에 설명한 동작들을 수행하는 회로를 설계하면 되는 것이다.

 

이제 이를 논리 게이트로 옮겨보자.

 

자리올림 비트는 AND게이트로 표현 가능하다!

 

AND 게이트를 이용하여 두 이진수 간의 덧셈에 대한 자리올림 비트를 계산해 낼 수 있다.

 

이제 합 비트를 계산할 수 있는 논리 회로를 찾아내면 된다.

우선 합(sum) 부분의 결과에서 오른쪽 아랫부분을 제외하면 OR 게이트의 결과와 같다는 것을 알 수 있다.

 

 

또한 왼쪽 윗부분만 제외하면 NAND 게이트의 결과와 값이 같다.

 

 

그렇다면 OR와 NAND 게이트에 같은 입력을 주고 잘 연결해보면 뭔가 나오지 않을까요?

 

 

 

이 표를 보면 OR 게이트의 연결과 NAND 게이트의 결과가 모두 1인 경우에만 값이 1이 되도록 한다면 우리가 원하는 결과가 되는 점을 알 수 있다. 이제 두 게이트의 출력을 AND 게이트의 입력으로 연결하면 된다.

 

 

이 회로에는 이름이 있다. 입력 A 혹은 B가 1인 경우에는 출력이 1이 되지만, 두 입력 모두가 1이 되는 경우에는 0이 되기 때문에 상호 배제적(Exclusive)인 OR 게이트, 짧게 XOR 게이트라는 이름을 가지고 있다.

 

XOR 게이트

 

이제 정리해보면, 두 이진수를 더하면 합 비트와 자리올림 비트가 발생한다. 이는 다음의 두 논리 게이트를 이용해서 결과를 얻을 수 있다.

 

• 합 비트 - XOR 게이트 
• 자리올림 비트 - AND 게이트

 

XOR 게이트와 AND 게이트를 합쳐서 만든 반가산기(Half Adder)

 

'반가산기(Half Adder)'라는 이름이 붙은 온전한 이유가 있다. 분명 이 가산기도 한 비트짜리 두 이진수를 더해서 합 비트와 자리 올림 비트를 만들어낸다. 하지만 대부분의 이진수가 한 비트만으로 이루어진 것은 아니다. 반가산기의 단점은 바로 아랫자리에서 덧셈을 통해 올라온 자리올림을 처리할 수 없다는 것이다.

 

두 반가산기를 합쳐서 '전가산기(Full Adder)'를 만들고, 이를 통해 아랫자리에서 올라온 자리올림을 처리해 보자.

 

 

다음의 표에는 전가산기에서 발생 가능한 모든 입력에 대하여 만들어질 수 있는 모든 출력을 요약한 것이다.

 

 

자. 이제 다 된 거 같습니다.

여덟 개 전가산기에서의 자리올림 출력이 그 윗자리의 자리올림 입력으로 제공됨으로써 여덟 개의 전가산기를 다음과 같이 묶어서 표현할 수 있다.

 

 

 

만들어진 8비트 덧셈기를 만들고 나면, 이제 다른 것도 만들 수 있다. 만들어진 8비트 덧셈기 두 개를 직렬로 배치하면 16비트 숫자 두 개를 더 할 수도 있다.

 

순차적으로 이진수 계산부터 16비트 계산기까지 만들어보았다.

 

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출처

CODE (블랙 에디션) - 예스24