팩토리얼(Factorial, 계승)과 순열의 관계

팩토리얼(Factorial, 계승)

수학에서, 자연수의 계승 또는 팩토리얼은 그 수보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱이다. n이 하나의 자연수일 때, 1에서 n까지의 모든 자연수의 곱을 말한다. 기호는 느낌표(!)를 쓰며 팩토리얼이라고 읽는다.

 

쉽게 정리하면 

5! = 1×2×3×4×5

 

특히, 0의 계승은 1이다.

 

n! = nPn = 1 * 2 * 3 ... (n - 2) * (n - 1) * n

 

순열에서는 n * (n - 1) * (n - 2) ... 3 * 2 * 1 로 나타낸다. 하지만 순서와 상관없이 값은 동일하다.

 

4P3 = 4 * 3 * 2를 일반화 해보면

4P3 = 4 * (4 - 1) * (4 - 2)

nPr = n * (n - 1) * (n - 2) ... (n - (r - 1)) 에서 괄호를 제거하면 아래의 식과 같다.

nPr = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1)

 

 

n에서 r개를 선택하는 순열을 일반화한 공식으로 정리해보았다.

n개에서 r개를 고르는 방식에다가 n * (n - 1) * (n - 2) ... (n - r + 1) 해당 부분에 나머지 부분을 채워준다.

 

n * (n - 1) * (n - 2) ... (n - r + 1) * (n - r) * (n - r - 1) ... 3  *  2 * 1 

1까지 도달하면서 n!이 된다.

 

분모 부분도 (n - r) * (n - r - 1) ... 3  *  2 * 1 

1까지 도달하면서 (n - r)!이 된다.

 

r = n 인 경우

nPr = nPn = n! / (n - r)! = n! / (n - n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

 

0! = 1인 증명

0! = 0P0

0P0 = 0! / (0 - 0)! = 0! / 0! = 1

 

만약 r = 0 인 경우 어떻게 되는지 보자.

 

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참조 사이트

순열과 조합 - 순열2. 팩토리얼(factorial), 계승