정수의 기하학적인 성질

삼각수(triangular number)

삼각수는 첫 n 개의 양의 정수를 나타내는 행들을 쌓아서 만들 수 있는데 기하학적으로 다음과 같은 패턴을 따른다.

 

 

n 번째 삼각수에 이전 삼각수인 n - 1번째 삼각수를 붙이면 정사각수(square number)가 된다.

n 번째 삼각수에 자기 자신을 붙이면 직사각수(oblong number)가 된다.

 

 

$$ \Box_n = n(n + 1) $$

 

또한 위 두 그림을 비교해 보면 각각의 직사각수는 같은 수에 대응되는 삼각수의 두 배라는 것을 알 수 있다.

삼각수는 첫 n 개의 양의 정수의 합이므로 다음과 같은 식이 성립된다.

 

$$ \Box_n = 2\triangle_n = 2\sum_{i=1}^n i = n(n + 1) $$

 

따라서 위와 같은 기하학적인 결과로부터 양의 정수를 1부터 n까지 더한 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$ \triangle_n = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2} $$

 

홀수의 수열에서 그노몬이라는 물건과 같은 모양을 만들 수 있다. (목수들이 쓰는 ㄱ자 모양의 직각자를 그리스어로 그노몬이라고 부르는데 해시계에서 그늘을 만들어내는 부품도 모양이 비슷하기 때문에 그노몬이라고 부른다.)

 

 

이 그림을 보면 첫 n 개의 양의 홀수를 더한 값의 공식을 다음과 같이 구할 수 있음을 알 수 있다.

 

$$ \Box_n = \sum_{i=1}^n (2i - 1) = n^2 $$