자연 상수 e에 대해서 알아보자

 

 

e는 어디서 나왔을까?

e는 지수 성장(Exponential Growth)을 나타내는 숫자이다.

쉽게 말해 '어떤 것이 계속 증가할 때 그 증가율이 일정하면, 그 성장이 e를 따른다.'라고 이해할 수 있다.

 

일단 정의만 읽어서는 전혀 감이 오지 않는다. 예를 들어보자.

💰 e가 등장하는 실생활 예제

예제 : 100원을 투자했을 때, 복리 이자가 붙는 경우

• 은행에서 연이율 100%로 돈을 맡긴다고 가정해 보자.
• 즉, 1년 이후에는 원금의 2배(200원)가 된다.

하지만  이자를 한 번만 주는 것이 아니라, 더 자주 주면 어떻게 될까?

 

이자를 1년에 한 번만 받는 경우 (단리)

원금 + 이자 = 100 + (100 * 1) = 200

 

이자를 1년에 두 번 주는 경우 (반년마다 50% 이자)

1차 : 100 + (100 * 0.5) = 150

2차 : 150 + (150 * 0.5) = 225

 

이자를 1년에 4 번 주는 경우 (분기별 25% 이자)

1분기 : 100 + (100 * 0.25) = 125

2분기 : 125 + (125 * 0.5) = 156.25

3분기 : 156.25 + (156.25 * 0.5) = 195.31

4분기 : 195.31 + ( 195.31 * 0.5) = 244.14

 

이자를 더 자주 받을수록 돈이 더 많이 불어난다.

이자를 계속 무한히 주는 경우 (복리 이자가 무한대라면?)

이자를 무한히 계속 주는 경우 즉, 매 순간마다 이자가 쌓인다면? 이 경우 아래와 같은 식을 따르게 된다.

$$ \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n $$

여기서 n을 매우 큰 값으로 보내면, 이 값은 e(2.71828)에 근사치로 가까워진다.

$$ \lim_{n \to \infty} \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n = e$$

 

즉, 이자가 무한히 자주 붙으면 원금이 2.718배가 된다.

e는 어디서 많이 쓰일까?

• 세균이 번식할 때 (e^x 형태로 증가)
• 돈이 불어날 때
• 인공지능의 확률 계산 (Softmax 함수 등)

e의 공식적인 정의

e는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ e=\lim_{n \to \infty} \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^n $$

또는 무한 급수를 이용해서도 정의할 수 있다.

$$ e=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n!} $$

이 급수는 무한히 더해가는 방식으로 e를 계산하는 방법이다.

C#에서 자연상수 e

class Test
{
    static void Main(string[] args)
    {
        Console.WriteLine("자연 상수 e");
        Console.WriteLine($"자연 상수 e의 1 제곱 Pow 함수 :{Math.Pow(Math.E, 1)}");
        Console.WriteLine($"자연 상수 e의 2 제곱 Pow 함수 :{Math.Pow(Math.E, 2)}");

        Console.WriteLine($"자연 상수 e의 1 제곱 Exp 함수 :{Math.Exp(1)}");
        Console.WriteLine($"자연 상수 e의 1 제곱 Exp 함수 :{Math.Exp(2)}");
    }
}

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