완전수(Perfect Number) 이야기

완전수(Perfect Number)

완전수란 어떤 수의 진약수의 합이 자기자신이 되는 수를 말한다.

• 6의 진약수 : 1, 2, 3
  1 + 2 + 3 = 6
• 28의 진약수 : 1 2 4 7 14
  1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

진약수(Proper Divisor)

진약수란 어떤 수의 약수 중에서 자기 자신을 제외한 약수를 진약수로 말한다.

*6의 진약수 : 1 2 3 6 (6은 자기자신이므로 제외)

 

완전수의 신기한 특징

완전수는 연속되는 자연수의 합으로 나타낼 수도 있다.

 

• 6 = 1 + 2 + 3
• 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
• 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 +22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 + 31

- 지금까지 완전수는 짝수밖에 발견되지 않음

- 완전수가 무한히 존재하는지도 밝혀지지 않음

이는 수학의 유명한 미해결 문제 중 하나임

 

참고로 완전수가 아닌 수들은 진약수의 합이 자기 자신보다 크거나 작다.

크면 이를 과잉수, 작다면 부족수라고 한다.

 

14의 진약수 : 1 2 7

1 + 2 + 7 = 10

>> 부족수

 

18의 진약수 : 1 2 3 6 9

1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21

>> 과잉수

 

딱 1이 적은 부족수는 얼마든지 존재하지만, 딱 1이 많은 과잉수는 아직 아무도 찾아내지 못했다고 한다.

 

참고 사이트

완전수