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프로그래밍/수학31

조합의 성질에 대해서 조합(Combination)의 성질예를 들어, 10개의 서로 다른 사탕 중 3개를 뽑아서 먹어버리면 7개가 남게 된다. 즉, 10개 중에 3개를 뽑는 방법의 수와 10개 중 7개를 남기는 방법의 수는 같다. 첫 번째 성질$$ _{n}\mathrm{C}_{r} = _{n}\mathrm{C}_{n-r} $$ 일반화하면 전체 n 개 중에서 r개를 뽑으나 n-r개를 남기나 경우의 수는 같게 된다는 것이다. 계산으로도 간단히 확인할 수 있으니 증명은 쿨하게 생략하도록 하겠다. 이 성질은 조합의 계산을 간단하게 만들어준다. 10C7 보다 10C3이 훨씬 계산하기 쉽기 때문이다. 9C1 = 9C82C1 = 2C1 두번째 성질$$ _{n}\mathrm{C}_{n} = 1,_{n}\mathrm{C}_{0} = 1 $$ .. 2024. 4. 5.
다항식 곱하기 다항식 곱하기두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)를 곱한다고 한다면 (a + b)를 m으로 치환하고 나서 분배 법칙을 적용해 보자. (a + b)(c + d)= m(c + d)= (m x c) + (m x d)= ((a + b) x c) + ((a + b) x d)= ac + bc + ad + bd  ac + ad + bc + bd 이런 방식으로 만약 (a + b)2를 계산한다면 어떻게 될까요? (a + b)(a + b)= m(a + b)= (m x a) + (m x b)= ((a + b) x a) + ((a + b) x b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2  $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab .. 2024. 4. 3.
항, 상수항, 계수란 무엇인가? 항(項, term) 항은 숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 말한다. 숫자와 문자를 곱한 것, 문자와 문자를 곱한 것 그리고 숫자와 숫자를 곱한 것도 당연히 항이라고 한다. $$ ax^2 + bx + c $$ ax2, bx, c 모두 항이다. 상수항(常數項, constant term) 상수항은 항 중에서 숫자만으로 이루어진 항을 말한다. $$ ax^2 + bx + 3 $$ 숫자로만 이루어진 3이 상수항이다. 계수(係數, coefficient) 계수는 변수(문자)에 일정하게 곱해진 상수(숫자)이다. 방정식에서 변수 이외의 부분 즉, 나머지 인수 전체를 의미한다. 여기서 숫자 대신 a, b, c 등이 사용되기도 한다. $$ ax^2 + bx + c $$ 에서 a, b, c는 모두 계수이다. 예를 들어, .. 2024. 4. 3.
2는 유일한 짝수 소수(even prime number)이다. 왜 2는 유일한 짝수 소수(even prime number)인가? 소수는 오직 1과 자기 자신으로만 나눠지는 수를 이야기한다. 2는 1과 자기자신 2로만 나눠진다. 2보다 큰 짝수들은 모두 2로 나눠진다. 즉, 1과 2와 자기자신으로 나눠진다. 3개로 나눠짐 결론 (Solution) 2는 유일한 짝수 소수(even prime number)이다. 참고 사이트 Why is 2 the only even prime number? Why is 2 the only even prime number? byjus.com 2024. 4. 2.
정수의 기하학적인 성질 삼각수(triangular number) 삼각수는 첫 n 개의 양의 정수를 나타내는 행들을 쌓아서 만들 수 있는데 기하학적으로 다음과 같은 패턴을 따른다. n 번째 삼각수에 이전 삼각수인 n - 1번째 삼각수를 붙이면 정사각수(square number)가 된다. n 번째 삼각수에 자기 자신을 붙이면 직사각수(oblong number)가 된다. $$ \Box_n = n(n + 1) $$ 또한 위 두 그림을 비교해 보면 각각의 직사각수는 같은 수에 대응되는 삼각수의 두 배라는 것을 알 수 있다. 삼각수는 첫 n 개의 양의 정수의 합이므로 다음과 같은 식이 성립된다. $$ \Box_n = 2\triangle_n = 2\sum_{i=1}^n i = n(n + 1) $$ 따라서 위와 같은 기하학적인 결과로부터 양.. 2024. 3. 19.
정의역 vs 공역 vs 치역 집합론(集合論, set theory)에 대해서 함수형 관련 프로그래밍을 공부하다 보니 수학에 대해서 조금씩 공부하고 있다. 오늘은 집합론에서 다루는 정의역, 공역, 치역에 대해서 알아보려고 한다. 정의역(定義域, domain) 역은 '영역, 구역'을 뜻한다. 정의역은 '함수가 정의된 영역'을 말한다. 즉 함수에 입력되는 인자를 뜻한다. 공역(共域, codomain) 공은 공동, 공통, 공존 등에 쓰이는 한자로 함께라는 뜻이다. 공역은 '정의역'에 대응하는 영역'이라는 의미로, 함숫값이 존재하는 영역이다. 치역(値域, range) 치는 가치, 수치 등에 쓰이는 한자로, '값'이란 뜻이다. 여기서 값이란 함수의 값을 말하며, 치역은 함숫값의 범위를 뜻한다. 실제로 함수에 정의역을 입력해서 나온 값의 범위를 .. 2024. 3. 12.

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